Question

2．已知函数f（x）=x²+2ax+2
（1）若方程f（x）=0有两不相等的正根，求a的取值范围；
（2）求f（x）在x∈[-5，5]的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系列出不等式组解出；
（2）讨论f（x）在[-5，5]上的单调性求出最小值．

解答 解：（1）设方程x²+2ax+2=0的两根为x₁，x₂，
则$\left\{\begin{array}{l}△=4{a^2}-8＞0\\{x_1}+{x_2}=-2a＞0\\{x_1}{x_2}=2＞0\end{array}\right.$
解得：$a＜-\sqrt{2}$．
（2）f（x）=（x+a）²+2-a²
f（x）图象的对称轴为x=-a，
当-a＜-5，即a＞5时，f（x）在[-5，5]上是增函数，
∴f_min（x）=f（-5）=27-10a．
当-5≤-a≤5，即-5≤a≤5时，$f{（x）_{min}}=f（-a）=2-{a^2}$．
当-a＞5，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上是减函数，
∴f_min（x）=f（5）=27+10a．
综上所述：当a＞5时，f_min（x）=27-10a；
当-5≤a≤5时，f_min（x）=2-a²；
当a＜-5时，f_min（x）=27+10a．

点评 本题考查了二次函数的单调性及应用，属于基础题．