Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，由点差法和中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到中点弦方程，分别求得与x，y轴的交点，可得三角形的面积．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1．
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，
两式相减可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中点坐标公式可得x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
即有AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
可得直线AB的方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），
令x=0，可得y=$\frac{5}{8}$；令y=0，可得x=$\frac{5}{2}$．
则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{8}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{32}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式的运用，考查中点弦方程的求法，注意运用点差法的运用，考查运算能力，属于中档题．