Question

17．求下列函数的值域：
（1）y=$\sqrt{x}$+1；   
（2）y=-x²+4x-7（x∈[0，3]）    
（3）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 ①由x≥0，可得y=$\sqrt{x}$+1≥1，即可得出函数的值域；
②y=-x²+4x-7=-（x-2）²-3，利用当x∈[0，2）时，此函数单调递增；当x∈[2，3]时，此函数单调递减，即可得出．
（3）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{1+{x}^{2}}$-1．由于x²≥0，可得0＜$\frac{1}{1+{x}^{2}}$≤1，即可得出此函数的值域．

解答 解：①∵x≥0，∴$\sqrt{x}$≥0，∴y=$\sqrt{x}$+1≥1，因此函数的值域为[1，+∞）；
 ②y=-x²+4x-7=-（x-2）²-3，可知：当x∈[0，2）时，函数单调递增，因此y∈[-7，-3）；
当x∈[2，3]时，函数单调递减，因此y∈[-4，-3]．
∴函数y=-x²+4x-7（x∈[0，3]） 的值域为[-7，-3]．
（3）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{1+{x}^{2}}$-1．
∵x²≥0，
∴0＜$\frac{1}{1+{x}^{2}}$≤1，
∴$\frac{2}{1+{x}^{2}}$-1∈（-1，1]．
即y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的值域为∈（-1，1]．

点评 本题考查了函数的值域求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．