Question

如图，在四棱柱ABCD=A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，DC=DD₁=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；    
（2）求证：D₁C⊥AC₁；
（3）设F是BC上一点，试确定F的位置，使D₁F∥平面A₁BD，并说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面平行的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用柱体的体积公式，即可求出四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；
（2）证明D₁C⊥平面ADC₁，可得D₁C⊥AC₁；
（3）F是BC的中点，取CD中点E，连接BE，EF，D₁F，证明平面D₁EF∥平面A₁BD，即可得出结论．

解答： （1）解：侧棱AA₁⊥底面ABCD，DC=DD₁=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为

1+2

2

×1=

3

2

；
（2）证明：由题意可知，AD⊥平面DD₁C₁C，
∴AD⊥D₁C，
∵四边形DD₁C₁C是正方形，
∴D₁C⊥DC₁，
∵DC₁∩AD=D，
∴D₁C⊥平面ADC₁，
∴可得D₁C⊥AC₁；
（3）解：F是BC的中点，
取CD中点E，连接BE，EF，D₁F，则BE∥A₁D₁，BE=A₁D₁，
∴四边形A₁D₁EB是平行四边形，
∴D₁E∥A₁B，
∴D₁E∥平面A₁BD，
∵F是BC的中点，E是CD的中点，
∴EF∥BD，
∴EF∥平面A₁BD，
∵D₁E∩EF=E，
∴平面D₁EF∥平面A₁BD，
∴D₁F∥平面A₁BD．

点评：本题考查棱柱的结构特征，几何体的体积的求法，直线与平面的位置关系的判断，考查空间想象能力计算能力，属于中档题．