Question

已知函数f（x）=e^x（x-a），a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=

f(x)

x

在[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在实数x₀，使得函数f（x）图象上任意不同两点连线的斜率都不等于f（x₀）？若存在求出x₀的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数f′（x），由f′（x）正负性求出函数f（x）的单调区间，求出f（x）的极值；
（Ⅱ）由函数y=

f(x)

x

在[1，+∞）单调递增，得y′≥0在[1，+∞）上恒成立，求出a的取值范围；
（Ⅲ）构造函数，利用函数的单调性求参数的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=-1
当x＞-1时，f′（x）=（x+1）e^x＞0；当x＜-1时，f′（x）=（x+1）e^x＜0，
∴函数y=f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
∴函数y=f（x）在x=-1时取得极小值-e^-1，但函数没有极大值；
（Ⅱ）y′=

xf′(x)-f(x)

x2

=

xex(x-a+1)-ex(x-a)

x2

=

ex(x2-ax+a)

x2

，
由题意得x²-ax+a≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即a（x-1）≤x²对x∈[1，+∞）恒成立，当x=1时不等式对a∈R恒成立，
当x≠1时，不等式化为a≤

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+2，
由于x∈（1，+∞），所以（x-1）+

1

x-1

+2≥2+2=4（当且仅当x=2时时对等号），
所以a（x-1）≤x²对x∈（1，+∞）恒成立的条件是a≤4，
综上得所求实数a的范围为a≤4；
（Ⅲ）假设存在x=x₀，使得对任意不同的x₁，x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

≠f′（x₀），即
f（x₂）-f（x₀）•x₂≠f（x₁）-f（x₀）•x₁
令g（x）=f（x）-f′（x₀）•x
∵函数g（x）=f（x）-f′（x₀）•x的图象连续，且对任意不同的x₁，x₂有g（x₂）≠g（x₁），
∴g′（x）=f′（x）-g′（x₀）≤0（或≥0）对x∈R恒成立，
即存在x₀，使得f′（x₀）≥f′（x）（或f′（x₀）≤f′（x））对x∈R恒成立，
令h（x）=f′（x）=（x+1-a）•e^x，
令h′（x）=0得x=a-2，函数y=h（x）在（-∞，a-2）单调递减，在（a-2，+∞）单调递增，
∴函数y=h（x）在x=a-2取得最小值，
故存在x₀=a-2，使得f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率都不等于f′（x₀）．

点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．