Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）求m的取值范围．
（2）当m=4时，若圆C与直线x+ay-4=0交于M，N两点，且

CM

⊥

CN

，求a的值．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）把圆C的方程化为标准形式，根据半径大于零，求得m的范围．
（2）由题意可得，弦心距等于半径的

2

2

倍，再利用点到直线的距离公式，求得a的值．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²-2x-4y+m=0 即 圆C：（x-1）²+（y-2）² =5-m，∴m＜5．
（2）当m=4时，∴圆C：（x-1）²+（y-2）² =1，
圆心C：（1，2），半径r=1，
∵CM⊥CN，∴弦心距d=

2

2

r，即

|1+2a-4|

1+a2

=

2

2

，化简：7a²-24a+17=0，
求得a=1，或 a=

17

7

．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．