Question

已知抛物线y=4x²，过焦点的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：当直线斜率存在时，直线与抛物线有两个交点，直线方程为y=kx+

1

16

，得出4x²-kx-

1

16

=0运用韦达定理得出，x₁x₂=-

1

64

，再运用y₁y₂=16x₁²x₂²=

1

256

，求解即可．

解答： 解：∵抛物线y=4x²，x²=

y

4

，焦点为（0，

1

16

）
当直线斜率存在时，直线与抛物线有两个交点，直线方程为y=kx+

1

16

，
∴

y=kx+ 1 16 y=4x2

，4x²-kx-

1

16

=0，x₁x₂=-

1

64

，
∴y₁y₂=16x₁²x₂²=

1

256

，
直线与x轴平行时，抛物线有两个交点，由

y= 1 16 y=4x2

，交点（-

1

8

，

1

16

）（

1

8

，

1

16

）
故y₁y₂=

1

256

．
故答案为：

1

256

点评：本题考查直线和抛物线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用．