Question

（文科实验做）已知函数f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，x∈R，若f（x）-

5m

2

≥0恒成立，则m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：利用导数求出原函数的最小值，把f（x）-

5m

2

≥0恒成立转化为f（x）≥

5m

2

恒成立，代入f（x）的最小值即可求得m的范围．

解答： 解：∵函数f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，
∴f′（x）=2x³-6x²，
令f′（x）=0，得x=0或x=3，
经检验知x=3是函数的一个最小值点，
∴函数的最小值为f（3）=3m-

27

2

，
∵不等式f（x）-

5m

2

≥0恒成立，即f（x）≥

5m

2

恒成立，
所以3m-

27

2

≥

5m

2

，解得m≥27．
故答案为：m≥27．

点评：本题考查了函数恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．