Question

如果存在非零常数c，对于函数y=f（x）定义域R上的任意x，都有f（x+c）＞f（x）成立，那么称函数为“Z函数”．
（1）求证：若y=f（x）（x∈R）是单调函数，则它是“Z函数”；
（2）若函数g（x）=ax³+bx²是“Z函数”，求实数a、b满足的条件．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,进行简单的合情推理

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由y=f（x）（x∈R）是单调函数，若是增函数，则当c＞0时，函数为“Z函数”；若是减函数，则当c＜0时，函数为“Z函数”，从而得证；
（2）由函数g（x）=ax³+bx²是“Z函数”，则函数g（x）满足定义，由g′（x）≥0或g′（x）≤0恒成立，讨论分析可得实数a，b满足的条件是a≠0且b=0．

解答： 证明：（1）若y=f（x）（x∈R）是单调函数，
若y=f（x）（x∈R）是增函数，则当c＞0时，都有f（x+c）＞f（x）成立，函数为“Z函数”．
若y=f（x）（x∈R）是减函数，则当c＜0时，都有f（x+c）＞f（x）成立，函数为“Z函数”．
（2）若函数g（x）=ax³+bx²是“Z函数”，
则函数g（x）=ax³+bx²是单调函数，即g′（x）可能恒大于0或恒小于等于0，
g′（x）=（ax³+bx²）′=3ax²+2bx，
∴g′（x）=3ax²+2bx≥0或g′（x）=3ax²+2bx≤0恒成立，
∴

a＞0 4b2≤0

或

a＜0 4b2≤0

∴a＞0且b=0或a＜0，b=0，
由于题目中是存在非零常数c，那么c完全可以取到特别大的实数更大，那么y=3ax²+2bx的单调性由于c过大，完全可以认为是单调增，忽略但调减的区间，所以b∈R
∴实数a、b满足的条件是a≠0．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，考查了进行简单的合情推理的能力，考查了转化思想，属于中档题．