Question

已知|

OA

|=1，|

OB

|=2，∠AOB=

2π

3

，

OC

=x

OA

+y

OB

，且x+2y=1，则|

OC

|的最小值为

1

2

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积和二次函数的性质即可得出．

解答：解：∵|

OA

|=1，|

OB

|=2，∠AOB=

2π

3

，

OC

=x

OA

+y

OB

，且x+2y=1，
∴

OC

2=(x

OA

+y

OB

)2=x²+4y²+4xycos

2π

3

=x²+4y²-2xy=（1-2y）²+4y²-2y（1-2y）
=12y²-6y+1=12(y-

1

4

)2+

1

4

≥

1

4

，当且仅当y=

1

4

，x=

1

2

时取等号．
∴|

OC

|≥

1

2

．
故|

OC

|的最小值为

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：熟练掌握向量的数量积运算性质和二次函数的性质是解题的关键．