Question

5．已知角α，β满足$\frac{tanα}{tanβ}=2$，若$sin（{α+β}）=\frac{1}{3}$，则sin（α-β）的值为$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinαcosβ=2cosαsinβ，再根据已知及两角和的正弦函数公式可求cosαsinβ的值，可求sinαcosβ的值，利用两角差的正弦公式求得sin（α-β）的值．

解答 解：∵$\frac{tanα}{tanβ}=2$，即sinαcosβ=2cosαsinβ．
∵$sin（{α+β}）=\frac{1}{3}$=sinαcosβ+cosαsinβ，可得：3cosαsinβ=$\frac{1}{3}$，
∴cosαsinβ=$\frac{1}{9}$，可求sinαcosβ=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{9}$=$\frac{2}{9}$，
则sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{2}{9}$-$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{9}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．