Question

6．如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．
（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．

解答 证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，
∵E为PD的中点，∴EF∥PA，
在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，
∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，
∵EC?平面EFC，
∴EC∥平面PAB．
解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，
∵PA=PD，∴PF⊥AD，
推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，
∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，
∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，
设DC=CB=1，则AD=PC=2，∴PB=$\sqrt{3}$，
BF=PF=1，∴MF=$\frac{1}{2}$，
又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，
∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为$\frac{1}{2}$，
∵MF=$\frac{1}{2}$，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为$\frac{1}{2}$，
E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，
∴E到平面PBC的距离为$\frac{1}{4}$，
在$△PCD中，PC=2，CD=1，PD=\sqrt{2}$，
由余弦定理得CE=$\sqrt{2}$，
设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=$\frac{\frac{1}{4}}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．