Question

6．二次函数f（x）=ax²+bx+c的导函数为f′（x），已知f′（0）＞0，且对任意实数x，有f（x）≥0，则$\frac{f（1）}{f′（0）}$的最小值为2．

Answer 1

分析 先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式，再结合基本不等式求出最小即可，注意等号成立的条件．

解答 解：∵f（x）=ax²+bx+c
∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0
∵对任意实数x都有f（x）≥0
∴a＞0，c＞0，b²-4ac≤0，即$\frac{4ac}{{b}^{2}}$≥1，
∴$\frac{f（1）}{f′（0）}$=$\frac{a+b+c}{b}$=1+$\frac{a}{b}$+$\frac{c}{b}$≥1+2$\sqrt{\frac{ac}{{b}^{2}}}$≥1+2$\sqrt{\frac{1}{4}}$=2，当且仅当b=2a时，取等号，
∴$\frac{f（1）}{f′（0）}$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了导数的运算，以及函数的最值及其几何意义和不等式的应用，属于基础题．