Question

已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9×2^n-1，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=2log₂

an

3

+1，S_n是数列{

1

bnbn+1

}的前n项和，求证：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的通项公式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）令n=1，2可得a₂+a₁，a₃+a₂，从而可得公比q=

a3+a2

a2+a1

，求出a₁，利用等比数列的通项公式可求得a_n；
（Ⅱ）表示出b_n，

1

bnbn+1

，拆项后利用裂项相消法可求得S_n，从而可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₂+a₁=9×1①，
当n=2时，a₃+a₂=9×2，公比q=

a3+a2

a2+a1

=2，
由①得a₁（1+2）=9，
∴a₁=3，a_n=3•2^n-1；
（Ⅱ）b_n=2log₂

an

3

+1=2n-1，
则

1

bnbn-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．