Question

记an为(1+x)n+1的展开式中含x^n-1项的系数，则

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得 a_n=

C

n-1 n+1

=

n(n+1)

2

，

1

an

=2（

1

n

-

1

n+1

），再根据

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

2（1-

1

n+1

），利用数列极限的运算法则，计算求得结果．

解答： 解：由题意可得 a_n=

C

n-1 n+1

=

C

2 n+1

=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

 2[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

lim

n→∞

2（1-

1

n+1

）=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查利用裂项法进行数列求和，数列极限的运算法则的应用，属于基础题．