Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1），给出以下命题：
①当x＜0时，f（x）=e^x（x+1）；     
②函数f（x）有五个零点；
③对?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立．
④若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是f（-2）≤m≤f（2）；
其中，正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：设x＜0，则-x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假，再由性质作出图象可对其他命题逐一作出判断．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1）
设x＜0，则-x＞0，∴-f（x）=f（-x）=e^x（-x-1），即f（x）=e^x（x+1），
故①正确；
观察f（x）在x＜0时的图象，对x＜0时解析式f（x）=e^x（x+1）求导数，
得，f′（x）=e^x（x+2），
令f′（x）=e^x（x+2）=0，解得x=-2，
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∵在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0）上，f（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上公有一个零点，
由对称性知，f（x）在（0，+∞）上也有一个零点，
又∵f（0）=0，∴函数f（x）有3个零点，故②错误；
由于函数-1＜f（x）＜1，故有对?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立，即③正确．
若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是-1＜m＜1，故④错误；
故答案为：①③．

点评：本题考查奇函数的性质，考查数形结合思想，由图象作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．