Question

11．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，过左焦点F₁（-c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长F₁E交抛物线y²=4cx于P，Q两点，则|PE|+|QE|的值为（　　）

• A． $10\sqrt{2}a$
• B． 10a
• C． $（5+\sqrt{5}）a$
• D． $12\sqrt{2}a$

Answer 1

分析 求出E，P，Q的坐标，利用距离公式，即可得出结论．

解答 解：设直线的倾斜角为α，则由题意$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
切线方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+c），代入y²=4cx，
可得x²-6cx+c²=0，∴x=（3±2$\sqrt{2}$）c，
∴P（（3+2$\sqrt{2}$）c，（2$\sqrt{2}$+2）c），
Q（（3-2$\sqrt{2}$）c，（2$\sqrt{2}$-2）c），
直线OE与PE的方程分别为y=-$\sqrt{2}$x与y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+c），
联立可得E（-$\frac{1}{3}$c，$\frac{\sqrt{2}}{3}$c），
∴|PE|+|QE|=$\sqrt{（\frac{10}{3}+2\sqrt{2}）^{2}+（\frac{5\sqrt{2}}{3}+2）^{2}}$c+$\sqrt{（\frac{10}{3}-2\sqrt{2}）^{2}+（\frac{5\sqrt{2}}{3}-2）^{2}}$c=（$\frac{5\sqrt{2}}{3}$+2）c+（$\frac{5\sqrt{2}}{3}$-2）c=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$c=10$\sqrt{2}$a，
故选A．

点评 本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．