Question

3．已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{2}$a-b）sinB
（1）求角C；
（2）试若R=$\sqrt{2}$时，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；
（2）根据正弦定理算出c的值，利用余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{2}$a-b）sinB，
∴根据正弦定理，得a²-c²=（$\sqrt{2}$a-b）b=$\sqrt{2}$ab-b²，
可得a²+b²-c²=$\sqrt{2}$ab
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵角C为三角形的内角，
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）∵C=$\frac{π}{4}$，R=$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理可得：c=2RsinC=2，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：4=a²+b²-$\sqrt{2}$ab≥2ab-$\sqrt{2}$ab，当且仅当a=b时等号成立，
∴解得：ab≤$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$，可得：△ABC面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{4}{2-\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+1，当且仅当a=b时等号成立，
∴△ABC面积S的最大值$\sqrt{2}$+1．

点评 本题给出三角形的外接圆半径为R，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．