Question

已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且tan

A+B

C

=sinC，则下列结论正确的为

 

．
①△ABC为直角三角形；   ②

1

tan(C-A)

+

1

tan(C-B)

的最小值为2；
③若△ABC的周长为4，则面积的最大值为12-8

2

；     ④

c

a

+

c

b

的范围为[2

2

，+∞）．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用,余弦定理

专题：解三角形

分析：①利用二倍角公式对已知等式整理求得sin

C

2

的值，进而求得C=

π

2

．
②利用基本不等式推断结论正确．
③根据周长建立关于a和b的等式，利用基本不等式的知识确定ab的范围，则三角形的面积的范围可得．
④利用正弦定理把边的问题转化为角的正弦，使之平方，把问题转化为一元二次函数的问题，根据二次函数的单调性确定

c

a

+

c

b

的范围．

解答： 解：∵tan

A+B

2

=

sin A+B 2

cos A+B 2

=

cos C 2

sin C 2

=sinC=2sin

C

2

•cos

C

2

，
求得sin²

C

2

=

1

2

，sin

C

2

=

2

2

，
∴

C

2

=

π

4

，C=

π

2

，
∴△ABC为直角三角形．故①正确．
②∵A+B=

π

2

，
∴tan（C-A）=cot（C-B）
∴

1

tan(C-A)

+

1

tan(C-B)

=cot（C-B）+

1

tan(C-B)

≥2，故②正确．
③中，a+b+

a2+b2

=4，整理得8+ab=4（a+b），
∵a+b≥2

ab

，
∴8+ab≥8

ab

，即（

ab

）²-8

ab

+8≥0，
解得

ab

≤4-2

2

，或

ab

≥4+2

2

（舍去），
∴ab≤24-16

2

，
∴S=

1

2

ab≤12-8

2

，③正确．
④中

c

a

+

c

b

=

1

sinA

+

1

sinB

=

1

sinA

+

1

cosA

，
令（

c

a

+

c

b

）²=（

1

sinA

+

1

cosA

）²=

1

sin2A

+

1

cos2A

+

2

sinAcosA

=

1

sin2Acos2A

+

2

sinAcosA

=

4

sin22A

+

4

sin2A

，
设

1

sin2A

=t，则t≥1，
∴（

c

a

+

c

b

）²=f（t）=4t²+4t，此函数在（-1，+∞）上单调增，
∴f（t）≥f（1）=8，
∴

c

a

+

c

b

≥2

2

，故结论④正确．
综合可知①②③④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查了解三角形的综合问题．综合考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式问题，以及转化和化归思想的运用．