Question

经过点A（-3，-

3

2

），倾斜角为α的直线l，与曲线C：

x=5cosθ y=5sinθ

（θ为参数）相交于B，C两点．
（1）写出直线l的参数方程，并求当α=

π

6

时弦BC的长；
（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；
（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；
（4）当α变化时，求弦BC的中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,直线的参数方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（1）写出直线的参数方程，曲线C化为普通方程，将直线方程代入普通方程，运用韦达定理，求出BC的长；
（2）由t₁+t₂=3（2cosα+sinα）=0，求出斜率，即可得到方程；
（3）由|BC|=8，解三角方程，求出斜率，即可得到直线方程；
（4）BC中点对应参数t=

t1+t2

2

=

1

2

×3（2cosα+sinα），代入直线的参数方程，化简即可得到轨迹方程．

解答： 解：（1）l的参数方程

x=-3+tcosα y=- 3 2 +tsinα

（t为参数）．        
曲线C化为：x²+y²=25，将直线参数方程的x，y代入，得
t²-3（2cosα+sinα）t-

55

4

=0
∵△=9（2cosα+sinα）²+55=0恒成立，
∴方程必有相异两实根t₁，t₂，且t₁+t₂=3（2cosα+sinα），t₁t₂=-

55

4

．
∴|BC|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

9(2cosα+sinα)2+55

，
∴当α=

π

6

时，|BC|=

1

2

337+36 3

．                  
（2）由A为BC中点，可知t₁+t₂=3（2cosα+sinα）=0，
∴tanα=-2，
故直线BC的方程为4x+2y+15=0．                 
（3）∵|BC|=8，得|BC|=

9(2cosα+sinα)2+55

=8，
∴4sinαcosα+3cos²α=0，
∴cosα=0或tanα=-

3

4

．
故直线BC的方程为x=3或3x+4y+15=0．
（4）∵BC中点对应参数t=

t1+t2

2

=

1

2

×3（2cosα+sinα），
∴

x=-3+ 3 2 (2cosα+sinα)cosα y=- 3 2 + 3 2 (2cosα+sinα)sinα

（参数α∈[0，π]），消去α，得
弦BC的中点的轨迹方程为（x+

3

2

）²+（y+

3

4

）²=

45

16

；
轨迹是以（-

3

2

，-

3

4

）为圆心，

3 5

4

为半径的圆．

点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的几何意义和运用，韦达定理的运用，属于中档题．