Question

【题目】如图1，在直角梯形中，E，F分别为的三等分点，，，，，若沿着，折叠使得点A和点B重合，如图2所示，连结，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取的中点分别为，连结，由已知为等边三角形，可得，平面，有，进而证明平面，再证明四边形为平行四边形，得到，所以有平面即可；

（2）以为坐标原点，建立如下图坐标系，求出坐标，分别求出平面和

平面的法向量，按空间向量二面角公式，即可求解.

（1）取，的中点分别为O，M，连结，，.

且，又因为且，

所以且，

故四边形为平行四边形，故.

因为M为中点，三角形为等边三角形，故，

因为平面平面，所以，

因为，所以平面，

因此平面，平面，

故平面平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，

设平面的法向量为，则

，即，

令得；

设平面的法向量为，

则，

即，

令，得.

.

故二面角的余弦值为.