Question

【题目】已知函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若对于任意的，，有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求出，然后分、、、四种情况讨论

（2）不妨设，则可化为，构造函数，然后条件可转化为在区间上恒成立，然后利用二次函数的知识即可求出答案.

（1）函数的定义域为，

．

①若，则当时，，所以函数在区间上单调递减；

当时，，所以函数在区间上单调递增．

②若，则当或时，，

所以函数在区间，上均单调递增；

当时，，所以函数在区间上单调递减．

③若，则当时，，所以函数在区间上单调递增．

④若，则当或时，，

所以函数在区间，上均单调递增；

当时，，所以函数在区间上单调递减．

综上所述，

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，函数在区间，上均单调递增，

在区间上单调递减；

当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间，上均单调递增，

在区间上单调递减．

（2）不妨设，

则可化为．

令，则函数在区间上单调递增．

所以在区间上恒成立．

即在区间上恒成立．（*）

因为，所以，

所以，要使（*）成立，只需，

解得．

故所求实数的取值范围为．