题目内容
【题目】已知函数
有两个零点
，
，且
.
（1）求
的取值范围；
（2）证明：
.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）首先求出函数的导函数，令
，即可求出函数的最小值，要使函数有两个零点则
，即可求出参数的取值范围，再验证即可；
（2）由
得
，令
，则
，
是
与
交点横坐标.求出
的导数，即可求出的单调性与最值，得到
，再构造函数
，证明其单调性从而得证；
（1）
，由得
，
当
时，
，即
在
上单调递增；
当
时，
，即在
上单调递减；
在处取得最小值
，解得
.
，
，在上有1个零点；
，
，
，令
，则
，
，
，
，在
上有1个零点，
综上，
的取值范围是.
（2）由得，令，则，是与交点横坐标.
，当
时，
，在
上是减函数，在
上是增函数，
在
处取得最小值，
，
设，
，
是减函数，
，
，
，
，
、
，在上递减，
，即
.
名校课堂系列答案
【题目】某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“
”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为
五个等级，确定各等级人数所占比例分别为
，
，，
，
，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将
至
等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到
、
、
、
、
五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
等级 |
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比例 |
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|
|
|
赋分区间 |
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|
而等比例转换法是通过公式计算：
其中
，
分别表示原始分区间的最低分和最高分，
、
分别表示等级分区间的最低分和最高分，
表示原始分，
表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
考生科目 | 考试成绩 | 成绩等级 | 原始分区间 | 等级分区间 |
化学 | 75分 |
|
|
|
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：
，
所以
（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
成绩 | 95 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 85 |
人数 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为
，求的分布列和期望.