Question

2．己知（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵
（Ⅰ）求展开式中含$\frac{1}{x}$项的系数
（Ⅱ）设（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵的展开式中前三项的二项式系数之和为M，（1+ax）⁶的展开式中各项系数之和为N，若4M=N，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（2x）^5-r$（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-1）^r2^5-r${∁}_{5}^{r}$${x}^{5-\frac{3}{2}r}$．令5-$\frac{3}{2}$r=-1，解得r，即可得出．
（Ⅱ）由题意可知：M=${∁}_{5}^{0}+{∁}_{5}^{1}$+${∁}_{5}^{2}$=16，N=（1+a）⁶．因为4M=N，即（1+a）⁶=64，解得a即可得出．

解答 解：（Ⅰ）T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（2x）^5-r$（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-1）^r2^5-r${∁}_{5}^{r}$${x}^{5-\frac{3}{2}r}$，
令5-$\frac{3}{2}$r=-1，则r=4，
∴展开式中含$\frac{1}{x}$的项为：T₅=（-1）⁴•2•${∁}_{5}^{4}$•x^-1=$\frac{10}{x}$，
展开式中含$\frac{1}{x}$的项的系数为10．…（6分）
（Ⅱ）由题意可知：M=${∁}_{5}^{0}+{∁}_{5}^{1}$+${∁}_{5}^{2}$=16，N=（1+a）⁶．
因为4M=N，即（1+a）⁶=64，
∴a=1或a=-3．（少一个答案扣2分）…（12分）

点评 本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．