为拉动经济增长.某市决定新建一批重点工程.分别为基础设施工程.民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{3}$.$\frac{1}{6}$.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率,(II)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{6}$，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程和产业建设工程的人数，求ξ 的分布列及数学期望．

分析（Ⅰ）根据题意，首先设第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，且各个事件相互独立，又由P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$，由相互独立事件的概率乘法公式得答案；
（Ⅱ）根据ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，得到变量的可能取值，分析出变量符合二项分布，得到变量的概率，即可写出分布列与数学期望．

解答解：（Ⅰ）记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，
由题意知A₁，A₂，A₃相互独立，B₁，B₂，B₃相互独立，C₁，C₂，C₃相互独立，
A_i，B_j，C_k（i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互独立，
且P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$；
他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：
P=3×2×P（A₁B₂C₃）=6P（A₁）P（B₂）P（C₃）=6×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B（3，$\frac{1}{3}$），且ξ=3-η；
所以P（ξ=0）=P（η=3）=${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=P（η=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=2）=P（η=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=3）=P（η=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$；
故ξ的分布是

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

ξ的数学期望Eξ=0×$\frac{1}{27}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{8}{27}$=2．

点评本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，也考查了相互独立事件同时发生的概率和二项分布的应用问题，是概率的综合性题目．

练习册系列答案

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20．

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