Question

18．已知等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=17，若从数列{a_n}中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3ⁿ项，按原来的顺序构成一个新的数列{b_n}．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{3n}{{{b_n}+1}}$（n∈N^*），T_n=c₁+c₂+…+c_n（n∈N^*），证明：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，结合新数列的特点进行求解即可．
（2）求出c_n=$\frac{3n}{{{b_n}+1}}$（n∈N^*）表达式，利用错位相减法先求出T_n，结合数列和不等式的关系进行证明即可．

解答 解：（1）公差$d=\frac{{{a_6}-a{\;}_2}}{6-2}=\frac{17-5}{4}=3$，…（2分）
所以a_n=a₂+（n-2）d=3n-1，…（4分），
${b_n}={a_{3^n}}=3×{3^n}-1={3^{n+1}}-1$．    …（6分）
（2）${c_n}=\frac{3n}{{{b_n}+1}}$=$n•{（\frac{1}{3}）^n}，\begin{array}{l}{\;}&{n∈{N^*}}\end{array}$  …（7分），
${T_n}={（\frac{1}{3}）^1}+2×{（\frac{1}{3}）^2}+…+（n-1）×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}+n×{（\frac{1}{3}）^n}$…（8分），
$\frac{1}{3}{T_n}={（\frac{1}{3}）^2}+2×{（\frac{1}{3}）^3}+…+（n-1）×{（\frac{1}{3}）^n}+n×{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$…（9分），
$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+{（\frac{1}{3}）^2}+{（\frac{1}{3}）^3}+…+{（\frac{1}{3}）^n}-n×{（\frac{1}{3}）^{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×{（\frac{1}{3}）^n}-n×{（\frac{1}{3}）^{n+1}}$…（11分）
${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4}•{（\frac{1}{3}）^n}$，
故${T_n}＜\frac{3}{4}$…（12分）

点评 本题主要考查等差数列的应用，根据条件建立方程关系求出数列的通项公式以及利用错位相减法进行求和是解决本题的关键．