Question

11．如图，已知圆C的方程为x²+y²=1，P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的一点，过P作圆的两条切线，切点为A，B，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围为（　　）

• A． [0，$\frac{3}{2}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． [1，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$]

Answer 1

分析 由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．

解答 解：设PA与PB的夹角为2α，α∈（0，$\frac{π}{6}$]．
则|PA|=PB|=$\frac{1}{tanα}$，
∴y=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|cos2α=$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$•cos2α
=$\frac{1+cos2α}{1-cos2α}•cos2α$．
记cos2α=u，u∈[$\frac{1}{2}$，1）则y=$\frac{u（1+u）}{1-u}$=-3+（1-u）+$\frac{2}{1-u}$≥2$\sqrt{2}$-3，
当且仅当u=$\sqrt{2}-1$时取等号，但是$\sqrt{2}-1∉$$[\frac{1}{2}，1）$，
由双勾函数的性质可知，x∈$[\frac{1}{2}，1）$，函数的增函数，
可得y≥$\frac{3}{2}$，此时P在双曲线的顶点位置．
u→1时，y→+∞．
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围为：[$\frac{3}{2}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．