Question

设函数f（x）=|x-1|，g（x）=|x-2|．
（1）解不等式f（x）+g（x）＜2；
（2）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，求|x-2y+1|的最大值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式即|x-1|+|x-2|＜2，再根据绝对值的意义求得|x-1|+|x-2|＜2的解集．
（2）由条件根据|x-2y+1|=|（x-1）-2（y-2）-2|≤|x-1|+2|y-2|+|-2|=|f（x）|+2|g（y）|+2，求得|x-2y+1|的最大值．

解答： 解：（1）不等式f（x）+g（x）＜2，即|x-1|+|x-2|＜2，
而|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1、2对应点的距离之和，数轴上0.5和2.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，
故|x-1|+|x-2|＜2的解集为（0.5，2.5）．
（2）对于实数x，y，∵f（x）≤1，g（y）≤1，
|x-2y+1|=|（x-1）-2（y-2）-2|≤|x-1|+2|y-2|+|-2|=|f（x）|+2|g（y）|+2≤1+2+2=5，
故|x-2y+1|的最大值为5．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了转化的数学思想，属于基础题．