Question

9．设函数f（x）=ax+cosx，
（1）讨论函数f（x）在区间[0，π]内的单调性；
（2）若f（x）≤1+sinx对x∈[0，π]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；
（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，可得a≤$\frac{2}{π}$，构造函数g（x）=sinx-$\frac{2}{π}$x（0≤x≤$\frac{π}{2}$），可得g（x）≥0（0≤x≤$\frac{π}{2}$），再考虑：①0≤x≤$\frac{π}{2}$；②$\frac{π}{2}$≤x≤π，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；
当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x₁=arcsina，x₂=π-arcsina
当x∈[0，x₁]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈[x₁，x₂]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减
当x∈[x₂，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈[0，arcsina]时，单调递增，当x∈[arcsina，π]时，单调递减；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤$\frac{2}{π}$．
令g（x）=sinx-$\frac{2}{π}$x（0≤x≤$\frac{π}{2}$），则g′（x）=cosx-$\frac{2}{π}$，当x∈（0，arccos$\frac{2}{π}$）时，g′（x）＞0，当x∈（arccos$\frac{2}{π}$，$\frac{π}{2}$）时，g′（x）＜0
∵g（0）=g（$\frac{π}{2}$）=0，∴g（x）≥0，即$\frac{2}{π}$x≤sinx（0≤x≤$\frac{π}{2}$），
当a≤$\frac{2}{π}$时，有f（x）≤$\frac{2}{π}$x+cosx
①当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，$\frac{2}{π}$x≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；
②当$\frac{π}{2}$≤x≤π时，f（x）≤$\frac{2}{π}$x+cosx=1+$\frac{2}{π}$（x-$\frac{π}{2}$）-sin（x-$\frac{π}{2}$）≤1+sinx
综上，a≤$\frac{2}{π}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．