Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），则a₂₀₀₉的值为

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：利用f（x+y）=f（x）f（y）求得f（x₂）-f（x₁）＜0，根据函数单调性的定义推断出函数为减函数．根据f（a_n+1）=

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f(-2-an)

和f（x+y）=f（x）f（y）整理求得a_n+1-a_n=2，进而可判断出{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．进而根据等差数列通项公式求得a_n．由此能求出结果．

解答： 解：令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a₁=f（0）=1．
当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₂）-f（x₁）
=f（x₁+（x₂-x₁））-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
即f（x₂）＜f（x₁），所以y=f（x）是R上的减函数．
由f（a_n+1）=

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f(-2-an)

（n∈N^*），得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1，
所以f（a_n+1-a_n-2）=f（0）．
因为y=f（x）是R上的减函数，所以a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2，
所以{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
所以a₂₀₀₉=2×2009-1=4017．
故答案为：4017．

点评：本题主要考查数列的第2009项的求法，考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，灵活利用函数的性质来解决数列的问题．