Question

11．如图，矩形ABCD中，$\frac{AB}{AD}$=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C-AB-E为直二面角．
（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；
（2）设F是BE的中点，二面角E-AC-F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥BC，BC⊥AE，从而AE⊥平面BCE，由此能证明平面ACE⊥平面BCE．
（Ⅱ）以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ的取值范围．

解答 （本题15分）
证明：（Ⅰ）∵二面角C-AB-E为直二面角，AB⊥BC，
∴BC⊥AE平面，∴BC⊥AE…（2分）
∵AE⊥CE，BC∩CE=C，
∴AE⊥平面BCE…（4分）
∵AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）
解：（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，
建立如图空间直角坐标系，
则AB=λ$A（0，1，0），B（\sqrt{{λ^2}-1}，0，0），C（\sqrt{{λ^2}-1}，0，1），E（0，0，0），F（\frac{{\sqrt{{λ^2}-1}}}{2}，0，0）$…（8分）
则$\overrightarrow{EA}=（0，1，0），\overrightarrow{EC}=（\sqrt{{λ^2}-1}，0，1）$
设平面EAC的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$
则$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ \sqrt{{λ^2}-1}•x+z=0\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow m=（1，0，-\sqrt{{λ^2}-1}）$…（10分）
同理设平面FAC的法向量为$\overrightarrow n=（2，\sqrt{{λ^2}-1}，-\sqrt{{λ^2}-1}）$…（12分）
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{{{λ^2}+1}}{{λ•\sqrt{2（{λ^2}+1）}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\sqrt{1+\frac{1}{λ^2}}$…（14分）
∵$λ∈[2，3]∴cosθ∈[\frac{{\sqrt{5}}}{3}，\frac{{\sqrt{10}}}{4}]$…（15分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．