Question

1．已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（I）解关于a的不等式f（1）≥2；
（II）若关于x的不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）先求出f（1）的值，直接解不等式f（1）≥2即可；
（II）若关于x的不等式f（x）≥2恒成立，利用分段函数进行求解即可求实数a的取值范围．

解答 解：（I）f（1）=|2-a|+|1-1|=|2-a|，|2-a|≥2⇒a≥4或a≤0…（4分）
（II）当a＞2时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x-a-1，x＞\frac{a}{2}\\-x+a-1，1≤x≤\frac{a}{2}\\-3x+a+1，x＜1\end{array}\right.$
作出图象可知f（x）的最小值为$f（{\frac{a}{2}}）=\frac{a}{2}-1≥2⇒a≥6$，则此时a≥6；…（7分）

当a≤2时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3x-a-1，x＞1\\-x+a-1，\frac{a}{2}≤x≤1\\-3x+a+1，x＜\frac{a}{2}\end{array}\right.$，作出图象可知f（x）的最
小值为$f（{\frac{a}{2}}）=-\frac{a}{2}+1≥2⇒a≤-2$，则此时a≤-2

综上：a≤-2或a≥6…（10分）

点评 本题主要考查绝对值不等式的应用，根据条件表示为分段函数形式是解决本题的关键．考查学生的转化能力．