Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，且（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1对一切n∈N^*都成立．
（1）若λ=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求λ的值，使数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）λ=1，则（S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1，可得

Sn+1+1

Sn+1

=

an+1

an

，利用叠乘法，可得S_n+1+1=2a_n+1，再写一式，两式相减，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）要使数列{a_n}是等差数列，必须有2a₂=a₁+a₃，解得λ=0，即可得出结论．．

解答： 解：（1）若λ=1，则（S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1，a₁=S₁=1．
又∵数列{a_n}的各项均为正数，∴

Sn+1+1

Sn+1

=

an+1

an

，…（2分）
∴

S2+1

S1+1

•

S3+1

S2+1

•…•

Sn+1+1

Sn+1

=

a2

a1

•

a3

a2

•…•

an+1

an

，
化简，得S_n+1+1=2a_n+1．①…（4分）
∴当n≥2时，S_n+1=2a_n．②
②-①，得a_n+1=2a_n，∴

an+1

an

=2（n≥2）．              …（6分）
∵当n=1时，a₂=2，∴n=1时上式也成立，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，a_n=2^n-1（n∈N^*）． …（8分）
（2）令n=1，得a₂=λ+1．
令n=2，得a₃=（λ+1）²．           …（10分）
要使数列{a_n}是等差数列，必须有2a₂=a₁+a₃，解得λ=0   …（11分）
当λ=0时，S_n+1a_n=（S_n+1）a_n+1，且a₂=a₁=1．
当n≥2时，S_n+1（S_n-S_n-1）=（S_n+1）（S_n+1-S_n），
整理，得

Sn+1

Sn-1+1

=

Sn+1

Sn

，…（13分）
从而

S2+1

S1+1

•

S3+1

S2+1

•…•

Sn+1

Sn-1+1

=

S3

S2

•

S4

S3

•…•

Sn+1

Sn

，
化简，得S_n+1=S_n+1，
∴a_n+1=1．                         …（15分）
综上所述，a_n=1，
∴λ=0时，数列{a_n}是等差数列．                       …（16分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，正确运用叠乘法是关键．