Question

12．平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是线段BD上任意一点．若$|\overrightarrow{AB}|=2，|\overrightarrow{AD}|=1$，且∠BAD=60°，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$的取值范围是（　　）

• A． $[1，\frac{7}{4}]$
• B． $[-\frac{7}{4}，-1]$
• C． $[-\sqrt{2}，-1]$
• D． $[-1，\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 通过图形，分别表示则$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{CP}$，然后进行向量数量积的运算即可．

解答 解：设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BD}$，λ∈[0，1]，由题意可得
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BD}$）•（$\overrightarrow{CB}$+λ$\overrightarrow{BD}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BD}$）•（-$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{BD}$）
=[$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）]•[-$\overrightarrow{AD}$+λ（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）]
=[（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$]•[（-λ$\overrightarrow{AB}$）+（λ-1）$\overrightarrow{AD}$]
=λ•（λ-1）${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（-2λ²+2λ-1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+λ（λ-1）${\overrightarrow{AD}}^{2}$
=4λ•（λ-1）+（-2λ²+2λ-1）•2•1•cos60°+λ（λ-1）•1
=3λ²-3λ-1=3${（λ-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{7}{4}$，
故当λ=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$ 取得最小值为-$\frac{7}{4}$，
当λ=0或1时，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$ 取得最大值-1，
故$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$ 的范围为[-$\frac{7}{4}$，-1]，
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积的运算，用已知向量表示未知向量，是中档题．