Question

对任意x，y满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）不恒为0
（1）证明：f（x）＞0
（2）当x＞0，f（x）＞1，证明凼数f（x）单调递增．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f（0），再有x=

x

2

+

x

2

，即可证得对任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可．

解答： 解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；
又对于任意x∈R，f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=[f（

x

2

）]2≥0，又f（

x

2

）≠0，∴f（x）＞0，
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₂-x₁）＞1，
f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁）⇒f（x₂）÷f（x₁）=f（x₂-x₁）＞1，
又f（

1

2

x₁+

1

2

x₁）=f（

1

2

x₁）f（

1

2

x₁）=f ²（

1

2

x₁）≥0⇒f（x₁）≥0，
故有f（x₂）＞f（x₁）．
所以 f（x）是R上增函数．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．