Question

11．（1）已知sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，求sinxcosx的值；
（2）a为实数，求函数f（x）=sinxcosx+a（sinx-cosx），x∈[$\frac{π}{2}$，π]的最大值．

Answer 1

分析 （1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，即可求出sinxcosx的值；
（2）设t=sinx-cosx，右边利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出t的范围，然后两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形表示出sinxcosx，代入f（x）解析式，分类讨论a的范围求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）将sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，两边平方得：（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
整理得：sinxcosx=$\frac{12}{25}$；
（2）设t=sinx-cosx，则t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，得到t∈[1，$\sqrt{2}$]，
由t²=（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx，得到sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$t²+at+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-a）²+$\frac{{a}^{2}+1}{2}$=g（t）（t∈[1，$\sqrt{2}$]），
抛物线开口向下，下面对a进行讨论：
①当a＜1时，g（t）在[1，$\sqrt{2}$]递减，此时原函数的最大值为g（1）=a；
②当1≤a≤$\sqrt{2}$时，g（t）在[1，$\sqrt{2}$]上先增后减，此时原函数的最大值为g（a）=$\frac{{a}^{2}+1}{2}$；
③当a＞$\sqrt{2}$时，g（t）在[1，$\sqrt{2}$]上递增，原函数的最大值为g（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$a-$\frac{1}{2}$，
综上，当a＜1时，最大值为a；当1≤a≤$\sqrt{2}$时，最大值为$\frac{{a}^{2}+1}{2}$；当a＞$\sqrt{2}$时，最大值为$\sqrt{2}$a-$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，二次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握基本关系是解本题的关键．