Question

5．若a=${∫}_{0}^{1}$x²dx，则二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}$）⁶的展开式中的常数项为-$\frac{20}{27}$．

Answer 1

分析 由定积分可得a值，由二项式定理可得．

解答 解：求定积分可得a=${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}$）⁶=（$\frac{1}{3}$$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}$）⁶，
展开式通项T_k+1=${C}_{6}^{k}$（$\frac{1}{3}$$\sqrt{x}$）^6-k（-$\frac{1}{\sqrt{x}$）^k
=（-1）^k${C}_{6}^{k}$•（$\frac{1}{3}$）^6-kx^3-k，
令3-k=0可得k=3，代入可得常数项为（-1）³${C}_{6}^{3}$•（$\frac{1}{3}$）³=-$\frac{20}{27}$
故答案为：-$\frac{20}{27}$

点评 本题考查定积分和二项式定理，属基础题．