Question

9．求与两个已知圆C₁：（x+3）²+y²=1和C₂：（x-3）²+y²=9都内切的动圆的圆心轨迹方程．

Answer 1

分析 设圆（x+3）²+y²=1的圆心C₁（-3，0），半径r₁=1；圆（x-3）²+y²=25的圆心C₂（3，0），半径r₂=3．动圆C与圆C₁：（x+3）²+y²=1和C₂：（x-3）²+y²=9都内切，|C₁C|=R-1，|C₂C|=R-3．|C₁C|-|C₂C|=2＜|C₁C₂|=6，利用双曲线的定义可知：动点C的轨迹是双曲线的右支．求出即可．

解答 解：设圆（x+3）²+y²=1的圆心C₁（-3，0），半径r₁=1；圆（x-3）²+y²=25的圆心C₂（3，0），半径r₂=3．
设动圆C的圆心C（x，y），半径R．
∵动圆C与圆C₁：（x+3）²+y²=1和C₂：（x-3）²+y²=9都内切，
∴|C₁C|=R-1，|C₂C|=R-3．
∴|C₁C|-|C₂C|=2＜|C₁C₂|=6，
因此动点C的轨迹是双曲线的右支，2a=2，2c=6，解得a=1，c=3，∴b²=c²-a²=8．
∴动圆圆心C的轨迹方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≥1）．

点评 本题考查了两圆相内切的性质、双曲线的定义，属于中档题．