Question

设a＞

1

9

，函数f（x）=

1-x2 1+x2

+a

1+x2 1-x2

．
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）求实数a的范围，使得对于区间[-

2 5

5

，

2 5

5

]上的任意三个实数r，s，t都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）a=1时，求出f（x）的定义域，判定f（x）为偶函数，化简函数，得出函数的单调性，利用定义进行证明；
（2）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2y_min＞y_max．

解答： 解：由题意，得f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数．
（1）当a=1时，f（x）=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

=

1-x2

1+x2 1-x2

+

1+x2

1-x2 1+x2

=

2

1-x4

；
∴在x∈[0，1）时，f（x）是增函数；x∈（-1，0]时，f（x）是减函数； 
∵f（x）为偶函数，
∴只对x∈[0，1）时，证明f（x）是增函数即可；
设0≤x₁＜x₂＜1，
∴

1-x14

＞

1-x24

＞0，
得

2

1-x14

＜

2

1-x24

，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴x∈[0，1）时，f（x）是增函数；
（2）设t=

1-x2 1+x2

，
∵x∈[-

2 5

5

，

2 5

5

]，
∴t∈[

1

3

，1]，
则y=t+

a

t

；
原问题转化为求实数a的取值范围，使得y在区间[

1

3

，1]上，恒有2y_min＞y_max．
讨论：①当0＜a≤

1

9

时，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上单调递增，
∴y_min=3a+

1

3

，y_max=a+1，由2y_min＞y_max得a＞

1

15

，
∴

1

15

＜a≤

1

9

；
②当

1

9

＜a≤

1

3

时，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增，
∴y_min=2

a

，y_max=max{3a+

1

3

，a+1}=a+1，
由2y_min＞y_max得7-4

3

＜a＜7+4

3

，
∴

1

9

＜a≤

1

3

；
③当

1

3

＜a＜1时，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增，
∴y_min=2

a

，y_max=max{3a+

1

3

，a+1}=3a+

1

3

，
由2y_min＞y_max得

7-4 3

9

＜a＜

7+4 3

9

，
∴

1

3

＜a＜1；
④当a≥1时，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上单调递减，
∴y_min=a+1，y_max=3a+

1

3

，
由2y_min＞y_max得a＜

5

3

，
∴1≤a＜

5

3

；
综上，a的取值范围是{a|

1

15

＜a＜

5

3

}．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性以及分析、转化问题的能力，是比较难的题目．