Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-

1

2

n²-

3

2

n+1（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n
（3）若c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n，P=

2013

i=1

ci2+ci+1

ci3+ci

，求不超过P的最大整数的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，2a₁=-

1

2

-

3

2

+1，解得a₁．当n≥2时，由S_n+a_n=-

1

2

n²-

3

2

n+1，S_n-1+a_n-1=-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)+1，两式相减即可证明；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）由（1）可得a_n=(

1

2

)n-n，可得c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n=n.

c 2 i +ci+1

c 3 i +ci

=

n2+n+1

n3+n

=

1

n

+

1

n2+1

，由于P=

2013

i=1

ci2+ci+1

ci3+ci

单调递增，即可得出不超过P的最大整数的值．

解答： （1）证明：当n=1时，2a₁=-

1

2

-

3

2

+1，解得a₁=-

1

2

．
当n≥2时，由S_n+a_n=-

1

2

n²-

3

2

n+1，S_n-1+a_n-1=-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)+1，两式相减可得2a_n-a_n-1=-n-1，化为2（a_n+n）=a_n-1+n-1，即bn=

1

2

bn-1．
∴数列{b_n}是等比数列；
（2）解：由（1）可得：b_n=(

1

2

)n，
∴T_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n，
∴

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1，
∴

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n(

1

2

)n+1=1-(1+

1

2

n)(

1

2

)n，
∴T_n=2-（2+n）(

1

2

)n．
（3）由（1）可得a_n=(

1

2

)n-n，
∴c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n=n．
∴

c 2 i +ci+1

c 3 i +ci

=

n2+n+1

n3+n

=

1

n

+

1

n2+1

，
由于P=

2013

i=1

ci2+ci+1

ci3+ci

单调递增，
∴P＞1
因此不超过P的最大整数的值是1．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．