Question

【题目】已知，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，动点的轨迹为曲线.过轴上一点的直线交曲线于，两点.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）证明：存在唯一的一点，使得为常数，并确定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1） （2）证明见解析；.

【解析】

（1）根据题意，画出几何图形，设，由几何关系可知，结合点的坐标即可求得的关系，化简即可求得曲线的轨迹方程；

（2）由点在轴上，可设，设出过点的直线方程为，联立抛物线方程，并由两点间距离公式表示出，并代入中化简即可求得常数的值，即可确定点的坐标.

（1）根据题意可知，，点在轴上，点在轴上，且，，画出几何关系如下图所示：

设，为中点，

因为在轴上，所以点的横坐标为，

由等腰三角形三线合一可知，

即，展开化简可得，

所以曲线的轨迹方程为.

（2）证明：点为轴上一点，设，

则过点的直线方程为，交抛物线于，两点.

则，化简变形可得，

所以，

由两点间距离公式可得，

，

所以

将代入化简可得

，

所以当时为常数，且，

此时.