Question

14．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x＜1}\\{4（x-a）（x-2a），x≥1}\end{array}\right.$
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=1时，分别探讨y=2^x-1（x＜1）与y=4（x-1）（x-2）=4（x²-3x+2）（x≥1）的单调性与最值，即可求得f（x）的最小值；
（2）分①g（x）=2^x-a在x＜1时与x轴有一个交点，h（x）=4（x-a）（x-2a）与x轴有一个交点，②函数g（x）=2^x-a与x轴无交点，h（x）=4（x-a）（x-2a）与x轴有两个交点两类讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x＜1}\\{4（x-1）（x-2），x≥1}\end{array}\right.$，
当x＜1时，函数f（x）在（-∞，1）上为增函数，函数值f（x）∈（-1，1）；
当x≥1时，函数f（x）在[1，$\frac{3}{2}$]为减函数，在[$\frac{3}{2}$，+∞）为增函数，当x=$\frac{3}{2}$时，f（x）取得最小值为-1；
故a=1，f（x）的最小值-1，
（2）①若函数g（x）=2^x-a在x＜1时与x轴有一个交点，则a＞0，并且当x=1时，g（1）=2-a＞0，即0＜a＜2，
函数h（x）=4（x-a）（x-2a）与x轴有一个交点，所以2a≥1且a＜1⇒$\frac{1}{2}$≤a＜1；
②若函数g（x）=2^x-a与x轴无交点，则函数h（x）=4（x-a）（x-2a）与x轴有两个交点，
当a≤0时，g（x）=2^x-a与x轴无交点，h（x）=4（x-a）（x-2a）在x≥1时与x轴无交点，不合题意；
当h（1）=2-a≥0时，a≥2，h（x）=4（x-a）（x-2a）与x轴有两个交点，x=a和x=2a，由于a≥2，两交点的横坐标均满足x≥1，
综上所述，a的取值范围为：$\frac{1}{2}$≤a＜1和a≥2．

点评 本题考查分段函数的应用，着重考查指数函数与二次函数性质的综合应用，考查分类讨论思想与分析运算能力，属于难题．