Question

设函数f(x)=xsinx(x∈R)

(1)证明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx．其中k∈Z；

(2)设x₀是f(x)的一个极值点．证明[f(x₀)]²=；

 (3)设f(x)在(0，+∞)的全部极值点按从小到大的顺序a₁,a₂，…，a_n，…，证明：<a_n+1-a_n<π．

Answer 1

 (3)证明：设x₀>0是f′(x)=0的任意正实根，即x₀-tanx₀，则存在一个非负整数k，使x₀∈(+kπ，π+kπ)，即x₀在第二或第四象限内．由①式f′(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：

X	()
f′(x)的符号	K为奇数	-	0	+
K为偶数	+	0	-

所以满足f′(x)=0的正根x₀都为f(x)的极值点．

由题设条件，a₁,a₂，…，a_n…为方程x=-tanx的全部正实根且满足a₁<a₂<…<a_n<…那么对于n=1，2，…

a_n+1-a_n=-(tana_n+1-tana_n)=-(1+tana_n+1·tana_n)tan(a_n+1-a_n)．  ②

由于+(n-1)π<a_n<π+(n-1)π，+nπ<a_n+1<π+nπ，则<an+1-an<,由于tana_n+1·tana_n>0，由②式知tan(a_n+1-a_n)<．0由此可知a_n+1-a_n必在第二象限，即a_n+1-a_n<π.综上，<a_n+1-a_n<π