题目内容

甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行数学知识比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位同学去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．
（1）从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况？
（2）比赛组委会规定，第一名获奖金1000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四名及第五名没有奖金，求丙获奖金数的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（1）利用排列数公式能求出5人的名次排列可能情况的种数．
（2）由题意知随机变量丙获奖金数X的可能取值为1000，800，600，0，分别求出相应的概率，由此能求出丙获奖金数的分布列及数学期望．
解答： 解：（1）5人的名次排列可能情况的种数有：
A
1
3
•
A
1
3
•
A
3
3
=54种可能．…（5分）
（2）记事件“丙获第一名、丙获第二名、丙获第三名、丙获第四名、丙获第五名”
分别为A1、A2、A3、A4、A5，
则P(A1)=
1
3
，P(A2)=
C
1
2
C
1
2
A
2
2
C
1
3
C
1
3
A
3
3
=
8
54
=
4
27
，P(A3)=
4
27
，
P(A4)=
4
27
，P(A5)=
C
1
2
A
3
3
C
1
3
C
1
3
A
3
3
=
12
54
=
2
9
…（8分）
故随机变量丙获奖金数X的可能取值为1000，800，600，0，
且P(X=1000)=
1
3
，P(X=800)=
4
27
，
P(X=600)=
4
27
，P(X=0)=
4
27
+
2
9
=
10
27
，
∴随机变量丙获奖金数X的分布列为
X10008006000
P
1
3
4
27
4
27
10
27
…（10分）
EX=1000×
1
3
+800×
4
27
+600×
4
27
+0×
10
27
=
1460
27
（元）．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
相关题目
若数列{an}的前n项和为Sn=n2+1，则向量
m
=（a1，a4）的模为（　　）
A、53
B、50
C、
53
D、5
2
对空间任意两个向量
a
，
b
（
b
≠0），
a
∥
b
的充要条件是（　　）
A、
a
=
b
B、
a
=-
b
C、
b
=λ
a
D、
a
=λ
b
设双曲线
x2
16
-
y2
9
=1上一点P，F1，F2是焦点，若|PF1|=10，则|PF2|等于（　　）
A、2B、2或18C、18D、16
直线l1∥l2，l1上有4个点，l2上有6个点，以这些点为端点连成线段，他们在l1与l2之间最多的交点个数是（　　）
A、24B、45C、80D、90
如图，在四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD，O为垂足，点M在SO上，且SM：MO=2：1，经过点M作与底面ABCD平行的平面α，分别交棱SA、SB、SC、SD于A1、B1、C1、D1
（1）求证：四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD；
（2）求棱锥S-A1B1C1D1的体积与棱台A1B1C1D1-ABCD的体积之比．
已知向量
a
=（cos（x+
π
8
），sin2（x+
π
8
）），
b
=（sin（x+
π
8
），1），函数f（x）=2
a
•
b
-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的周期与对称中心坐标；
（Ⅱ）求函数y=f（-
1
2
x）的单调递增区间．
如图，已知△AOB，∠AOB=
π
2
，∠BAO=
π
6
，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记OB绕O旋转所成角∠BOC为θ．
（1）当平面COD⊥平面AOB时，证明：OC⊥OB；
（2）若θ∈[
π
2
，
2π
3
]，求三棱锥C-AOB的体积V的取值范围．
设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．

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