随着生活水平和消费观念的转变.“三品一标 (无公害农产品.绿色食品.有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择.为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室.假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p.需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A.若化验结果呈阳性则含A.呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时.可逐个抽样化验.也可将若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．
（1）若$p=\frac{1}{3}$，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；
（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：
方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．

分析（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，利用相互对立事件的概率计算公式可得所求的概率为P（X≥1）=1-P（X=0）．
（2）设q=1-p，则0＜q＜1．
方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．
方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P（Z=1）=q⁴，P（Z=5）=1-q⁴，E（Z）=1×q⁴+5×（1-q⁴）．进而得出数学期望．

解答解：（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，
所求的概率为$P（{X≥1}）=1-P（{X=0}）=1-{（{1-\frac{1}{3}}）^3}=\frac{19}{27}$，
所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为$\frac{19}{27}$．
（2）设q=1-p，则0＜q＜1．
方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，$P（{Y=2}）={q^4}，P（{Y=4}）=C_2^1（{1-{q^2}}）{q^2}，P（{Y=6}）={（{1-{q^2}}）^2}$，$E（Y）=2×{q^4}+4×C_2^1（{1-{q^2}}）{q^2}+6×{（{1-{q^2}}）^2}=6-4{q^2}$．
方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P（Z=1）=q⁴，P（Z=5）=1-q⁴，E（Z）=1×q⁴+5×（1-q⁴）=5-4q⁴．
因为E（Y）-E（Z）=6-4q²-（5-4q⁴）=（2q²-1）²≥0，即E（Y）≥E（Z），
所以方案二更适合．