Question

已知双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），F₁是双曲线Γ的左焦点，直线y=x交双曲线Γ于P、Q两点，点M在双曲线上且满足MF₁⊥x轴，若△MPQ是以点M为顶点的等腰三角形，则双曲线Γ的离心率为（　　）

• A、

  1+ 3

  2

• B、1+

  3

• C、

  1+ 5

  2

• D、1+

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，OM⊥PQ，利用直线y=x交双曲线Γ于P、Q两点，可得k_OM=-1，求出M的坐标，可得方程，即可求出双曲线Γ的离心率．

解答： 解：由题意，OM⊥PQ，
∵直线y=x交双曲线Γ于P、Q两点，
∴k_OM=-1，
∵M在双曲线上且满足MF₁⊥x轴，
∴M（-c，

b2

a

），
∴

b2 a

c

=1，
∴b²=ac，
∴c²-a²=ac，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=

5 +1

2

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线Γ的离心率，考查学生的计算能力，确定OM⊥PQ是关键．