已知正项数列{an}中a1=1.且${a} {n}^{2}$•an+1+(Sn-Sn-1)2-an•an+1=0.则an=$\frac{1}{n}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知正项数列{a_n}中a₁=1，且${a}_{n}^{2}$•a_n+1+（S_n-S_n-1）²-a_n•a_n+1=0，则a_n=$\frac{1}{n}$．

分析由题意可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，继而得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以公差为1的等差数列，即可求出通项公式．

解答解：∵${a}_{n}^{2}$•a_n+1-（S_n-S_n-1）²+a_n•a_n+1=0，
∴${a}_{n}^{2}$•a_n+1-a_n²+a_n•a_n+1=0，
∵正项数列{a_n}，
∴a_n•a_n+1-a_n+a_n+1=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$
故答案为：$\frac{1}{n}$

点评本题考查数列递推式，通项公式的关系，等差数列的定义的应用，考查计算能力，是中档题．

练习册系列答案

17．

如图所示，直线AB垂直平面α于点B，直线l在平面α内，点C，D在l上，∠BCD=90°，∠CDB=45°，AB=80cm，CD=60cm．求点A到直线l的距离．

14．已知点（$\frac{π}{8}$，$\sqrt{2}$）是函数f（x）=2（asinx+bcosx）•cosx-b图象的一个最大值点．
（I）求实数a、b的值；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，-$\frac{3π}{8}$$＜α＜\frac{π}{8}$，求cos2α

1．已知二次函数f（x）=3x²-2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点$（n，{S_n}）\;（n∈{N^*}）$均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}，{T_n}$是数列{b_n}的前n项和，求使得${T_n}＜\frac{m}{2014}$对所有的n∈N^*都成立的最小正整数m．

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有${a}_{n+1}^{2}$=a_n•a_n+2恒成立，且a₂=1，S₂=$\frac{3}{2}$．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}对于任意的正整数n，均有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=3ⁿ-2ⁿ，记数列{b_n}前n项和为T_n，如果T_n≥k对于实数k恒成立，求k的最大值．

18．在数列{a_n}中．a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

15．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），设a=f（$\frac{π}{7}$），b=f（$\frac{π}{6}$），c=f（$\frac{π}{3}$），则a，b，c的大小关系是（　　）

12．函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象（　　）

	A．	关于直线x=$\frac{π}{6}$对称		B．	关于直线x=-$\frac{π}{12}$对称
	C．	关于点（$\frac{2π}{3}$，0）对称		D．	关于点（π，0）对称

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