Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有${a}_{n+1}^{2}$=a_n•a_n+2恒成立，且a₂=1，S₂=$\frac{3}{2}$．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}对于任意的正整数n，均有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=3ⁿ-2ⁿ，记数列{b_n}前n项和为T_n，如果T_n≥k对于实数k恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用${a}_{n+1}^{2}$=a_n•a_n+2恒成立，且a₂=1，S₂=$\frac{3}{2}$，得到a_n=2^n-2，
（Ⅱ）并由b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=3ⁿ-2ⁿ，利用错位相减法，并求出b_n，再根据前n项公式，求出T_n，根据{T_n}为单调递增数列，求出T_n的最小值，即可求出k的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵对任意的正整数n，都有${a}_{n+1}^{2}$=a_n•a_n+2恒成立，
∴数列{a_n}为等比数列，
设公比为q，
∵a₂=1，S₂=$\frac{3}{2}$，
∴a₁q=1，a₁+a₂=$\frac{3}{2}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，q=2，
∴a_n=$\frac{1}{2}$×2^n-1=2^n-2，
（Ⅱ）：∵对于任意的正整数n，均有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=3ⁿ-2ⁿ，（*），
∴b₁a_n+1+b₂a_n+…+b_na₂+b_n+1a₁=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，（1），
（*）两边同乘以2可得：b₁a_n+1+b₂a_n+…+b_na₂=2×3ⁿ-2ⁿ⁺¹，（2），
∴①-②可得b_n+1a₁=3ⁿ，
∴b_n+1=$\frac{1}{2}$•3ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{2}$•3^n-1=$\frac{{3}^{n}}{6}$
∴T_n=b₁+b₂+…b_n=$\frac{1}{6}$（3¹+3²+…+3ⁿ）=$\frac{1}{6}$•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{4}$（3ⁿ-1），
∵{T_n}为单调递增数列，
∴T_n≥T₁=$\frac{1}{4}$（3¹-1）=$\frac{1}{2}$，
∵T_n≥k对于实数k恒成立，
∴k≤$\frac{1}{2}$，
∴k的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．