Question

1．已知二次函数f（x）=3x²-2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点$（n，{S_n}）\;（n∈{N^*}）$均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}，{T_n}$是数列{b_n}的前n项和，求使得${T_n}＜\frac{m}{2014}$对所有的n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，确定出S_n，由a_n=S_n-S_n-1确定出通项公式即可；
（Ⅱ）由第一问确定出的通项公式表示出b_n，进而表示出T_n，代入已知不等式确定出最小正整数m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=3x²-2x，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴S_n=3n²-2n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-）]=6n-5，
当n=1时a₁=1也适合，
∴a_n=6n-5（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n+1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$），
要使$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{2014}$（n∈N^*）成立，m必须且仅需满足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2014}$，即m≥1007，
则满足要求的最小正整数m为1007．

点评 此题考查了数列的递推式，二次函数的性质，熟练掌握运算法则及性质是解本题的关键．