Question

14．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，请回答问题：
若函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{x+n}{2x-1}$（n∈R且n$≠-\frac{1}{2}$），则g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+g（$\frac{4}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=3024．

Answer 1

分析 根据题意，设h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，m（x）=$\frac{x+n}{2x-1}$，则有g（x）=h（x）+m（x），对于函数h（x），由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，即h（x）+h（1-x）=2，对于函数m（x）=$\frac{x+n}{2x-1}$，分析可得m（x）+m（1-x）=1；进而分析可得g（x）+g（1-x）=h（x）+m（x）+h（1-x）+m（1-x）=3；又由g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+g（$\frac{4}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+…+g（$\frac{1008}{2017}$）+g（$\frac{1009}{2017}$），计算可得答案．

解答 解：根据题意，设h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，m（x）=$\frac{x+n}{2x-1}$，
则g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{x+n}{2x-1}$=h（x）+m（x），
对于h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，
则有h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，
令h″（x₀）=2x₀-1=0，解可得x₀=$\frac{1}{2}$，
h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$=1，即函数h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1），
则有h（x）+h（1-x）=2；
对于函数m（x）=$\frac{x+n}{2x-1}$，m（1-x）=$\frac{（1-x）+n}{2（1-x）-1}$=$\frac{x-1-n}{2x-1}$，
m（x）+m（1-x）=1，
对于函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{x+n}{2x-1}$=h（x）+m（x），必有g（x）+g（1-x）=h（x）+m（x）+h（1-x）+m（1-x）=3，
则g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+g（$\frac{4}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2016}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{2015}{2017}$）+…+g（$\frac{1008}{2017}$）+g（$\frac{1009}{2017}$）=3×$\frac{2016}{2}$=3024；
故答案为：3024．

点评 本题考查函数的求助，涉及导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．